حل عددی چند سوال مهم و کاربردی

جایی که

مشتقات اول و دوم φ۱  عبارتند از

با قرار دادن عبارات (۳) در معادله (۷٫۲٫۱۸۵) و (۷٫۲٫۱۸۶)، ما [D11 = D22 =
D، D12 = νD، و D66 = (1-ν) D] 2

جایی که

داریم

ص۱

جایی که xi، yiمختصات سه رأس یک مثلث است و A0 مساحت یک مثلث است برای مثلث در شکل ۷٫۲٫۲۰، ما داریم


با قرار دادن این مقادیر در اشکال در معادله (۴) و (۵) برای R11 و F1،
به ترتیب، به دست می آوریم


بنابراین یک پارامتر راه حل ریتز تبدیل می شود


برای تقریب N پارامترریتز، ممکن است استفاده شود


جایی y)، (x pi چندجملهای درجهiاست:

انحراف دقیق، که توسط جایگزینی به معادله حاکم می توان تایید کرد،
توسط معادله (۷٫۲٫۱۷۲)، داده شده است

ص۲

مثال ۷٫۲٫۱۷
صفحه بیضوی با محورهای بزرگ و جزئی ۲aو ۲bرا به ترتیب در نظر بگیرید،
(به شکل ۷٫۲٫۲۱نگاه کنید)یک راه حل گالرکین یک پارامتر را برای این مورد  تعیین کنید
که در آن ورقه اتصال توزیع بار یکنواخت توزیع بار q0 قرار دارد.

شکل ۷٫۲٫۲۱ یک صفحه بیضوی محکم شده.


شکل ۷٫۲٫۲۱ یک صفحه بیضوی محکم شده.

راه حل:
شرایط مرزی عبارتست از


همانطور که قبلا اشاره کردیم، ما از معادله برای مرز بیضی استفاده می کنیم، اما مربع آن را برای برآوردانحراف و همچنین شرایط مرزی شیب مورد استفاده قرار می دهیم :


ما داریم

ص۳

واضح است که شرایط مرزی در معادله (۱) دقیقا توسط انتخاب برآورده شده اند .جایگزینی
به عبارت باقی مانده


که مستقل از x و y است. در این مورد، نیازی به ارزیابی وزن یکپارچه از باقی مانده  وجود ندارد

به عنوان آن تنها ثابت چند برابر بیان در معادله. (۴). بنابراین ما داریم

و راه حل گالرکین ، که با راه حل دقیق سازگار است، توسط معادله زیر داده می شود:


هنگامی که a = b.، s = 1, ،  راه حل به یک صفحه دایره ای کاهش می یابد (با x2 + y2 = r2، r
که هماهنگی شعاعی است:


۷٫۲٫۷ راه حل های مختلف: ارتعاش طبیعی
این بخش به مطالعه ارتعاشات طبیعی ورقه های اتصال مستطیلی توسط روش ریتز اختصاص داده شده است.
. معادله (۷٫۲٫۱۱۰)، بدون استفاده از q و، و کاهش می یابد.

ص۴

جایی که

برای ارتعاش طبیعی، راه حل به صورت دوره ای فرض می شود:

کهو ω فرکانس ارتعاش طبیعی مرتبط با شکل حالت y)، w0 (x است.
سپس معادله (۷٫۲٫۲۱۷)این شکل را  می گیرد.


ما می خواهیم مقادیر ω را بدست آوریم که معادله (۷٫۲٫۲۲۰) یک راه حل بی قاعده W0 دارد.
اصل حداقلی انرژی بالقوه که معادله را به دست می آورد. (۷٫۲٫۲۲۰) به عنوان معادله یولر
عبارتست از


متوجه شدیم که فرم ضعیف در معادله (۷٫۲٫۲۲۱) بر اساس اصل کمترین مقدار انرژی بالقوه است
و با استفاده از روش سه مرحله ساخت ضعیف فرم از معادله(۷٫۲٫۲۲۰)به دست نمی آید. عبارات حاوی نسبت پواسون در معادله (۷٫۲٫۲۲۱) هنگام به دست آوردن معادلات اویلر و نتیجه در معادله (۷٫۲٫۲۲۰)حذف می شود.اگر فرم ضعیف از معادله (۷٫۲٫۲۲۰) با استفاده از روش سه مرحله ای را توسعه دهیم،، عبارات حاوی نسبت پواسون درمعادله (۷٫۲٫۲۲۱) ظاهر نمی شود!
با استفاده از یک راه حل N-پارامتر ریتز از فرم

ص ۵

در معادله (۷٫۲٫۲۲۱)، ما ویژه مقدار مساله را به دست می آوریم

جایی که


معادله (۷٫۲٫۲۲۳) نشان دهنده یک مسئله ی استاندارد عدد اختصاصی است که می تواند عددی حل شود .همانطور که قبلا ذکر شد، مناسب است که تقریب ریتس از ورقه های اتصال مستطیلی را درفرم

جایی که توابع Xi وYjبرای شرایط مرزی مختلف به معادلات (۷٫۲٫۱۹۱) و(۷٫۲٫۲۱۶) داده شده است این توابع تنها شرایط مرزی هندسی مشکل را برآورده می کند.
با جایگزین کردن  معادله (۷٫۲٫۲۲۶) به معادله (۷٫۲٫۲۲۱)، معادله(۷٫۲٫۲۲۳) را بدست آوریم. که در آن ضرایب R (ij) (pq) ماتریس R و ضرایب B (ij) (pq) ماتریس B توسط

ص۶

اندازه ماتریسB وR و N2 × N2 است و معادله  (7.2.223) را می توان برای محاسبه اول N2فرکانس مجموعه بی نهایت استفاده نمود .
مثال ۷٫۲٫۱۸
اولین چهار فرکانس طبیعی یک صفحه ی مربع همسانگرد (ν = ۰٫۲۵) را تعیین کنیدکه صرفا در چهار طرف تکیه ساده دارد  . از روش ریتز با تقریبی که در آن معادله(۷٫۲٫۲۲۶)داده شده استفاده کنید.
راه حل:
ما توابع تقریبی زیر را انتخاب می کنیم:


جایی که


برای ورقه های اتصال مربع با N = 2، ماتریس های R و B توسط …داده می شود

که ضمائم ذخیره شده زیر برای ذخیره کردن ضرائب  استفاده می شود

اولین چهار فرکانس بدون بعد،، عبارتند از


فرکانس دقیق از معادله (۷٫۲٫۲۱۷) عبارتست از

ص۷

برای مقادیر بزرگتر N و M، روش ریتزبه طور فزاینده ای فرکانس ها دقیق حاصل می کند.
مثال ۷٫۲٫۱۹
اولین چهار فرکانس طبیعی یک ورقه اتصال مستطیلی (ν = ۰٫۲۵) همسانگرد را تعیین کنید
که در تمام چهار طرف دارای اتصال روبند است. از روش ریتز با تقریب داده شده در معادله (۷٫۲٫۲۲۶) استفاده کنید.
راه حل:
برای یک صفحه مربعی که از طرف هر طرف دارای اتصال روبند است، می توانیم تقریب توابع زیر را انتخاب کنیم:

برای ورقه های اتصال مربعی همسانگرد (ν = ۰٫۲۵) (a = b) با N = 2، توسط ماتریس R و B داده می شود

اولین فرکانسهای بدون بعد،، هستند

وبه  فرکانس های تقریبی به دست آمده توسط اودمان  [125]  و لیسا [۱۲۶]نگاه کنید

جدول ۷٫۲٫۱۱ شامل اولین چهار فرکانس طبیعی بدون بعد از ورقه های اتصال مستطیلی دارای اتصال روبند می باشد. نتایج با N = 2 به دست می آید (مقایسه با جداول ۴٫۲۸ و

ص۸

۴٫۲۹ به ترتیب در ورقه های اتصال ۶۳ و ۶۴ لایسا [۱۲۶]؛ هیچ  اشاره ای به  استفاده  از نسبت پواسون نشده است.
حالت شکل به  شکل زیر است

بردارهای c (i) برای چهار حالت در مورد a / b = 0.25، به عنوان مثال، توسط ….داده می شود

بردارهای ciبرای چهار حالت در مورد a / b = 1 توسط

داده شده است .
جدول ۷٫۲٫۱۱ اثر نسبت عرض صفحه a / b در فرکانس های بی بعد
از ورقه های اتصال مستطیلی همسانگرد دارای اتصال (ν = ۰٫۲۵) بستگی دارد.

ص۹

مثال ۷٫۲٫۲۰
اولین چهار فرکانس طبیعی یک ورقه اتصال مستطیلی (ν = ۰٫۲۵) همسانگرد را با طرف x = 0، a و y = 0 با اتصال روبند  و طرف y = b با تکیه گاه ساده (CCCS)تعیین کنید. ازروش ریتز با تقریب داده شده در معادله (۷٫۲٫۲۲۶)  استفاده کنید .
راه حل:
برای این مورد، توابع تقریبی توسط…

داده می شود

اولین چهار فرکانس طبیعی ورقه های اتصال مستطیلی در جدول ۷٫۲٫۱۲ ارائه شده است.
جدول ۷٫۲٫۱۲ اثر نسبت ابعاد ورقه های اتصال a / b در فرکانس های بی بعداز همسانگرد (ν = ۰٫۲۵)  ورقه های اتصال مستطیلی (CCCS).

نتایج اضافی لرزش طبیعی ورقه های اتصال مستطیلی با سایر شرایط مرزیرا می توان درلیسا و لیو  و و ردی همکاران یافت.

۷٫۲٫۸ راه حل های اختیاری: خم شدن
۷٫۲٫۸٫۱ ورقه های اتصال مستطیلی در کنار دو طرف متقابل دارای تکیه گاه ساده و در جهت عمود بر این طرفها فشرده شده اند
در بخش ۷٫۲٫۵، ما در مورد راه حل هاي خمشي ورقه های اتصال مستطيلي دارای تکیه گاه ساده دو طرف و داشتن شرایط مرزی دلخواه در دو طرف دیگر بحث كرديم. ما از آن روش راه حل لوی استفاده کردیم.  در اینجا ما راه حل های متنوعی از انقباض مستطیلی را ورقه های اتصال به راحتی در امتداد edges x = 0، a و در فشاری یکنواخت در امتدادلبه های مشابه در نظر می گیریم (نگاه کنید به شکل ۷٫۲٫۲۲). از معادله (۷٫۲٫۱۱۰)، با تنظیم زمان مشتق و شرایط باربه صفر، و گرفتن….، و، به دست می آوریم

ص۱۰

شکل ۷٫۲٫۲۲ خم شدن ورقه های اتصال مستطیلی به راحتی در طول دو لبه مخالف     (  a ، (x=0و تحت نیروی فشاری یکنواخت در لبه های یکسان قرار می گیرد؛ لبه های دیگر ممکن است هر ترکیبی از شرایط مرزی داشته باشند.
در روش لوی ، ما راه حل شکل زیر را فرض کردیم

به این معنی که صفحه  را به نیمه موج امواج سینوسی متصل می کند. راه حل پیشنهادی
شرایط باتکیه گاه ساده را بر آورده می سازد .


جایگزینی معادله (۷٫۲٫۲۳۰) در معادله (۷٫۲٫۲۲۹) تولید می کند


که باید با استفاده از شرایط مرزی بر روی لبه y = 0، b حل شود. در اینجا ما خواهان حل آن
معادله (۷٫۲٫۲۳۲) با استفاده از روش ریتز هستیم.
فرم ضعیف معادله (۷٫۲٫۲۳۲) عبارت است از

ص۱۱

جایی که برای یک لبه باتکیه گاه ساده  W = 0 و[ (d2W / dy2) = 0] یا یک لبه محکم W = 0 و[(dW / dy) = 0]، عبارات مرزی در معادله (۷٫۲٫۲۳۳) از بین می رود. با این حال، برای یک لبه آزاد، از بین رفتن گشتار خمشی و نیروی برشی موثر نیازمند… است

.از این رو، در یک لبه آزاد، عبارت  مرزی از معادله (۷٫۲٫۲۳۳) را می توان ساده تر کرد


به طوری که فرم ضعیف برای ورقه های اتصال SSSS، SSCC و SSCS می شود


برای ورقه های اتصال SSSF و SSCF، توسط معادله زیر داده می شود

بعد ما یک پارامتر فرضی تقریبی ریتز را از فرم به دست می آوریم


جایی کهφjتوابع تقریبی است (معادلات (۷٫۲٫۱۹۱) تا (۷٫۲٫۲۱۶)را مشاهده کنید؛ x را با y و
a را با b جایگزین کنید. با جایگزین کردن  تقریبی در معادله (۷٫۲٫۲۳۸) به شکل ضعیف در معادله (۷٫۲٫۲۳۷)،ما بدست می آوریم

جایی که

ص۱۲

عبارت مرزی در ضریبRijفقط برای ورقه های اتصال SSSF و SSCF غیر صفر است. معادله
(۷٫۲٫۲۴۰) یک راه حل بی قاعده دارد، ci ≠ ۰، تنها اگر تعیین کننده ماتریس ضریب R –
N0B صفر باشد :    

معادله (۷٫۲٫۲۴۲) یک چند جمله ای رتبه انم در N0را که به m بستگی دارد، می دهد. از این رو، برای همه  ابعاد فرضی نسبت a / b، بار لرزش بحرانی کوچکترین مقدار N0 برای همه m است.
جدول ۷٫۲٫۱۳ شامل مقادیر عددی بارهای انحنای بحرانی بی معنی است
، با استفاده از توابع تقریبی جبری داده شده در معادله)۷٫۲٫۱۹۱) به (۷٫۲٫۲۱۶) برای شرایط مرزی مختلف که به دست آمده. است دقت بارهای خمشی پیش بینی شده توسط تقریب سه پارامتر ریتز و با راه حل های تحلیلی در موافقت بسیار خوبی است.  توجه داشته باشید که برای نسبت های نسبت خاص، تغییری در حالت خم شدن وجود دارد.
جدول ۷٫۲٫۱۳ بارهای خمشی بدون اندازه گیری همسانگردی مستطیل شکل (ν = ۰٫۲۵)
تحت فشرده سازی یکنواخت (راه حل های ریتز)

ص۱۳

a : یک علامت به حالت بالاتر بعدی تغییر می کند؛ E نشان دهنده راه حل دقیق در بخش ۷٫۲٫۴٫۳ است.
۷٫۲٫۸٫۲ فرمولاسیون برای ورقه های اتصال مستطیلی با شرایط مرزی دلخواه
در این بخش، با استفاده از روش ریتز، ورقه های اتصال ورقه های اتصال مستطیلی یک طرفه را بررسی می کنیم.
مشکلات خمشی ورقه های اتصال با ترکیب خمشی و فشاری یا درون صفحه ای خالص امکان استرس برشی راه حل های تحلیلی را نمی دهد؛ بنابراین، مفید است که روش ریتز را برای حل این مشکلات در نظر بگیریم. بیانیه اصل جابجایی مجازی یاحداقل انرژی پتانسیل کامل برای ورقه های اتصال همسانگرد تحت نیروهای لبه درون صفحه ای ، و می تواند به این صورت  بیان شود


به طور کلی، نیروهای لبه اعمال عملکردهای موقعیت هستند و از هر کدام مستقل ازدیگری هستند. اجازه دهید


جایی که N0یک ثابت است و γ۱ و γ۲ احتمالا توابع موقعیت هستند.
با استفاده از یک راه حل N-پارامترریتز از فرم


در معادله (۷٫۲٫۲۴۳)، ما بدست می آوریم


با

ص۱۴

همانطور که قبلا ذکر شد، تقریب ریتس از ورقه های اتصال مستطیلی را درفرم زیر به راحتی می توان بیان نمود


توابع Xi وYjبرای شرایط مرزی مختلف در معادله (۷٫۲٫۱۹۱) به(۷٫۲٫۲۱۶)جایگزین می شود.  معادله (۷٫۲٫۲۴۵) به معادله (۷٫۲٫۲۴۳)،جایگزین می شود و ما معادله(۷٫۲٫۲۴۶)  را تعاریف زیر از ضرایب بدست می آوریم

بعد ما یک مثال از کاربرد معادلات (۷٫۲٫۲۴۶)، (۷٫۲٫۲۵۰) و (۷٫۲٫۲۵۱) را در نظر می گیریم.

ص۱۵

مثال ۷٫۲٫۲۱

یک صفحه باتکیه گاه ساده  شده است . برای انتخاب توابع جبری

و برایM = N = 1،به دست می آید.

توجه داشته باشیدکه بار انقباض برش درون صفحه ای با یک پارامترتقریبی مشخص نمی شود.بار تخلیه تحت فشاری یکسانی در امتداد محورxتوسط داده شده است که تحت تنظیمγ۱ = ۰:

و بار  بارکشی بحرانی تحت فشرده سازی دوگانه با (γ۱ = ۱)

برای ورقه های اتصال همسانگردمربع، عبارات درمعادله (۳) و (۴) می شوند

مقادیردقیقی برای دومورد  Dπ۲ / a2و Dπ۲ / a2هستند. نتایج درحدود ۱۱٫۵٪-خطا،ومقادیر برایN = M = 2تغییرنمی کند. برای یک ورقه های اتصال همسانگردی مربعی که درهمه طرف ها بسته شده وتحت فشارفشاری یک طرفه قرارگرفته یافشاری دوطرفه صورت گرفته است ،بارهای خمشی با استفاده ازروش ریتز باچند جمله ای جبری داده شده درمعادله (۷٫۲٫۲۱۳) (برایN = M = 1یا ۲) است

مثال ۷٫۲٫۲۲

ص۱۶

یک ورق مستطیلی با تکیه گاه ساده    (به شکل ۷٫۲٫۲۳) را با توزیع در صفحه  نیروهای اعمال شده در ورق میانی صفحه در طرف x = 0، a. در نظر بگیرید.  توزیع نیروهای اعمال شده فرض می شودکه


جایی که N0بزرگی  نیروی فشاری در y = 0 است و c0یک پارامتر خمشی و فشاری نسبی را تعریف می کند. به عنوان مثال، c0 = 0 مربوط به موردنیروی فشرده ی توزیع شده به طور یکنواخت است ، و برای c0 = 2، مورد خالص خم شدن را بدست می آوریم. تمام مقادیر دیگر ترکیبی از خمش و فشاری  یا تنش را ارائه می دهند.
انحراف صفحه  براق را تعیین کنید، که  از همه اطراف دارای تکیه ساده  است.
شکل ۷٫۲٫۲۳ خمش ورقه های اتصال با تکیه گاه ساده  در خمش و ترکیب فشاری

راه حل:
ما می خواهیم انحراف از ورقه اتصال که دارای تکیه گاه ساده  است ،را  به صورت یک سلسله سینوسی دو طرفه باشد


که متناسب با هندسه و همچنین شرایط مرزی نیروی مسئله است.
با جایگزین کردن  معادله (۲) برای w و

برایδwبه معادله (۷٫۲٫۲۴۳) با ، به دست می آوریم

ص۱۷

جایی که I11و I22تنها زمانی که p = m و q = n هستند، غیر صفر هستند


وInqبه صورت زیر تعریف شده است


که می تواند با کمک هویت های زیر محاسبه شود:


بنابراینInq = 0  اگر p ≠ m و


وقتی p = m برای هر m و n، معادله (۳) می شود

ص۱۸

جایی که جمع بر روی تمام اعداد q گرفته می شود، به طوری که n ± q یک عدد فرد است. با گرفتنm = 1 در معادله (۸)، ما بدست می آوریم


جایی کهS نسبت ابعاد نشان می دهد. یک راه حل غیر رسمی، یعنی غیر صفر  برای c1i،
تعیین کننده معادلات خطی در معادله (۹) باید صفر باشد در صورتی که صفحه خم  شود .
برای تقریب یک پارامتر (N = M = 1)، به دست می آید


که نتیجه رضایت بخشی فقط برای مقادیر کوچک c0است، یعنی در مواردی که تنش کرنشی نسبت به تنش فشاری یکنواخت کوچک است. مرتبه بالاترتقریبها نتایج کافی برای مورد خم شدن خالص را تولید می کنند. جدول۷٫۲٫۱۴حاوی بارهای بارگذاری بحرانی با استفاده از دو پارامتر تقریبی است، به جز c0 = 2، که در آن تقریب سه پارامتر استفاده شده است.
جدول ۷٫۲٫۱۴ بارهای غیر ابعادی  بحرانی بدون اندازه گیری با تکیه گاه ساده   ورقه های اتصال همسانگرد مستطیل شکل تحت خمش و فشاری ترکیب شده (راه حل های ریتز)


مثال ۷٫۲٫۲۳

ص۱۹

هنگامی که یک صفحه مستطیلی به راحتی بر روی تمام لبه های آن دارای تکیه گاه ساده است  و به صورت توزیع نیروی برشی یکنواخت در صفحه  قرار می گیرد (نگاه کنید به شکل ۷٫۲٫۲۴)، راه حل نیور یاروش لوی برای تعیین بار خمشی بحرانی نمی تواند مورد استفاده قرار گیرد. از این رو،  ازروش ریتز یا گالرکین با توابع مثلثاتی برای تعیین بارهای خمشی استفاده می شود .


شکل ۷٫۲٫۲۴ خم شدن ورقه های اتصال مستطیلی تحت اثر فشارهای برشی.
راه حل:
بگذارید راه حل را در فرم زیر دنبال کنیم


راه حل تقریبی متناسب با هندسه (w = 0) و طبیعی (Mxx = 0) در اطراف x = 0، a وMyy = 0 در طرف y = 0، b )شرایط مرزی مسئله را برطرف می سازد .بنابراین، هر دو روش ریتز و گالرکین راه حل های مشابه را تولید می کند.
راه حل گالرکین با جایگزینی معادله  (1) در جمله وزن باقیمانده

ص۲۰

بدست می آوریم

جایی که


و انتگرال Impبرابر صفر است، زمانی که p = m یا p ± m یک عدد است، وInqبرابر صفر است
= n یا q ± n یک عدد صحیح است. مجموعه ای از معادلات همگنmnدر معادله (۳) تعریف یک ویژه مقدار مساله  را تعریف می کند


جایی که

معادله (۴) دارای یک راه حل  نابدیهی است (به عنوان مثال، cmn ≠ ۰) )زمانی که تعیین کننده
ضریب ماتریس صفر است. توجه داشته باشید که A یک ماتریس مورب است در حالی که ماتریس G  نامتعارف غیر مثبت  نیست؛ از این رو، راه حل معادله (۴) نیاز به یک روال خاص دارد  که
مناسب برای ماتریس قطعی غیرقابل اعتماد یافته شده است که حل معادله (۴) به آرامی با افزایش مقادیر M و N. همگرا می شود . توجه کنیم که G برای M = N = وجود ندارد
۱٫برای M = N = 2، ازمعادله (۴)نتیجه (G (11) (12) = G (11) (21) = 0) را در می یابیم .


جایی که ضرایب توسط …داده می شود

ص۲۱

و S=b/aنسبت وجه صفحه است. با تعیین تعیین کننده ضریب ماتریس در معادله(۵)به صفر می رسیم و بدست می آوریم


دو نشانه نشان می دهد که مقدار خمش بحرانی به علامت بستگی ندارد.تیموشنکو و گر [۱۲۸] معادله زیر را برای ورقه های اتصال همسانگرد کوتاه (a / b <2)با تقریب پنج عبارت  c11، c22، c13، c31، c33و c42 به دست آورده اند


جایی که


برای یک صفحه مربع (b = a)، معادله قبلی بارخمش بحرانی را به دست می دهد، در حالی که مقدار به دست آمده با تعداد بزرگتر (از ۵) تعدادمعادلات به جای ۹٫۴ به ۹٫۳۴ می رسد. جدول ۷٫۲٫۱۵ شامل بارهای خمشی بحرانی است که با استفاده از تعداد زیادی از پارامترها به دست آمده است.
جدول ۷٫۲٫۱۵ بارهای کمانش بحرانی بدون اندازه گیری همسانگرد مستطیل شکل (ν =۰٫۲۵)
در زیر برش یکنواخت.



مثال ۷٫۲٫۲۴
بار خمش بحرانی یک صفحه مستطیلی محکم تحت برش درون افقی را با استفاده از روش ریتز تعیین کنید
راه حل:

ص۲۲

اصل حداقل انرژی کل بالقوه برای این مورد است


ما فرض تقریبی ریتز از فرم را در نظر می گیریم


و بدست می آوریم


با استفاده از تقریب دو پارامتر


با


ما بدست می آوریم

ص۲۳

جایی که


برای یک راه حل نابدیهی ، تعیین کننده ماتریس ضریب در معادله (۶) باید صفر باشد، برای به دست آوردن بار خمشی ، به دست می آید


علامت ± نشان می دهد که بار انقباض برشی خمشی  ممکن است مثبت یا منفی باشد. برای
یک صفحه مربع همسانگرد ، ما a = b را داریم و بار خمشی برشی می شود


در حالی که بار “خمشی” دقیق است


راه حل دوقطبی ریتزدر معادله. (۷) بیش از ۲۱٪ در خطا است.
این بحث در مورد استفاده از روش ریتز را به خمش ورقه های اتصال  مستطیلی را کامل می کند.
۷٫۳ تئوری دگرشکلی برش رده اول تئوری اتصال
گسترش تئوری تیر تیغه تیموشنکو  (TBT)، که برای فشار برش عرضی حساب می شود، به دو بعد، تئوری ورقه های اتصال تغییر شکل برشی اول (FSDT) نامیده می شود. که در در این بخش، ما خمش، ارتعاش و خم شدن صفحات ورقه های اتصال را با توجه به FSDT در نظر می گیریم. ماتغییر شکل خمیدگی هندسه ورقه های اتصال دایره ای و مستطیلی را در نظر می گیریم .
۷٫۳٫۱ معادلات ورقه های اتصال دایره ای
ما با زمینه جابجایی زیر شروع میکنیم:


جایی که w جابجایی عرضی است وφθ)و (φr چرخش یک خط طبیعی عرضی بدور  مختصات(θوr) است. مقادیر w، φr، φθ جابجایی تعمیم یافته  نامیده می شود

ص۲۴

برای ورق های نازک، یعنی زمانی که ابعاد مشخصه صفحه در داخل صفحه نسبت ضخامت به ترتیب ۵۰ و یا بیشتر است، عملکردهای دامنه های مربوط به انحراف عرضی چرخشیφrوφθنزدیک می شوند:


اجزای خطی کششی مربوط به سیستم مختصات استوانه ای توسط


جایی که


از آنجا که ما علاقه مندیم معادلات حرکت و شکل شرایط مرز را بیابیم فرض می کنیم که صفحه تحت بار عرضی q قرار گرفته است. با استفاده از اصل جابه جایی مجازی، δW = δWI + δWE = 0، ما می توانیم بنویسیم


جایی که

و Ks عامل اصلاح برشی است. معادلات اویلر عبارتند از

ص۲۵

شرایط مرزی ضروری شامل تعیین(φr، φθ، w  و شرایط مرز طبیعی نیاز به مشخص کردن عبارات دارد


متوجه شدیم  که تنها یک عنصر از سه جفت زیر در یک نقطه مرزی مشخص می شود:


گشتارهای خمشیMrrوMθθو نیروهای برشیQr، Qθمربوط به جابجایی تعمیم یافته
w، φr، φθتوسط


جایی که Ks فاکتور اصلاح برش را نشان می دهد و D = Eh3 / [12 (1 – ν۲)]؛ E مدول یانگ است
G مدول برشی است، ν نسبت پواسون است و h برابر ضخامت کل ورقه های اتصال است.
۷٫۳٫۲ راه حل دقیق ورقه های اتصال دایره ای محوری
برای خمش محوری متقارن ، همه متغیرها مستقل از مختصات زاویه ای θ وuθ = ۰ وφθ = ۰ هستند در نتیجه، εوεصفر هستند. از این رو، σوσو نتایج آنهاQθوMهمه صفر است. سپس معادلات تعادل در معادله (۷٫۳٫۶) و (۷٫۳٫۸) معادله نابدیهی برطرف شده (۷٫۳٫۷) است

ص۲۶

جایی که


و D = Eh3 / [12 (1 – ν۲)].یکپارچگی معادله(۷٫۳٫۱۴)رامی دهد.

استفاده از معادله (۷٫۳٫۱۵)، (۷٫۳٫۱۶) و (۷٫۳٫۱۸) در معادله (۷٫۳٫۱۳) و ادغام منجر به این نتیجه می شود

جایی که


در نهایت، از معادله (۷٫۳٫۱۷) تا (۷٫۳٫۱۹)، ما می رسیم به:


ثابت های ادغام، c1، c2، c3و c4با استفاده از شرایط مرزی تعیین می شوند.مشتقφrتوسط داده شده است

ص۲۷

سپس ما می توانیم گشتارهای خمشی را به اینصورت محاسبه کنیم


برای ورقه های اتصال دایره ای ممتد، شرطی که چرخشφrدر r = 0 محدود باشد، ازمعادله(۷٫۳٫۱۹)
که c3 = 0. علاوه بر این، اگر صفحه  در معرض بار نقطه ای در r = 0 قرار نگیرد، برش نیرو باید صفر باشد. این بدان معنی است که از معادله(۷٫۳٫۱۸).. ، c1 = 0است. بنابراین، برای دایره ای ممتد ورقه های اتصال بدون بار نقطه ای در مرکز، ما باید داشته باشیم


اگر یک صفحه دایره ای ممتد تحت فشار یک نقطه بار Q0 در مرکز قرار داشته باشد، ما داریم


بدیهی است، c3 ≠ ۰ و شرایط در معادله. (۷٫۳٫۲۶) برای ورقه های اتصال حلقوی معنادار نیست.
مثال ۷٫۳٫۱
راه حل دقیق یک صفحه دایره ای محکم و محکم با شعاع a را تعیین کنیدکه در معرض
(a) بار توزیع شده با شدت q0و (b) بار نقطه Q0در مرکز صفحه می باشد .

راه حل:
a. برای این مورد c3 = 0. شرایط مرزی مربوط به لبه محکم r =aهستندو


برای بار یکنواخت  با شدت q0، ما c1 = 0 و


از این رو، انحراف و چرخش می شود….

ص۲۸

برچسبها
مطالب مرتبط

دیدگاهی بنویسید.

بهتر است دیدگاه شما در ارتباط با همین مطلب باشد.

0