پایان نامه: روش های تکراری Nonlinear- HSS  و Picard- HSS  برای حل دستگاه معادلات غیر خطی

فایل زیر شامل

۱- عدد فایل ورد(قابل ویراش و کپی) پایان نامه ارشد به همراه فایل پی دی اف به تعداد ۸۰ صفحه است.

(نوشته دارای نظم نگارشی و  فرمتبندی کامل همچنین رفرنس نویس کامل است )

عنوان:

روش های تکراری Nonlinear- HSS  و Picard- HSS  برای حل دستگاه معادلات غیر خطی

چکیده

معادلات دیفرانسیل خطی و غیرخطی در بسیاری از مسائل علوم پایه و مهندسی ظاهر می شوند. هر چند تعداد زیادی ازاین مسائل با کمک روشهای تحلیلی و عددی قابل حل هستند، اما تعدادی دیگر از این مسائل وجود دارند که با روشرو روش های نیمه تحلیلی می توانند جایگزین ، ازاین های تحلیلی و عددی یا قابل حل نیستند و یا حل پیچیده ای دارندمناسبی جهت حل این مسائل باشند اماد در این پایان نامه بررسی سیالاتی منجر به حل دستگاه معادلات غیر خطی می شود که برای حل آن می‌توان از روشهای تقریبی، تحلیلی و عددی استفاده نمود. با توجه به کوپل بودن و غیر خطی بودن این معادلات با درجه بالا حل عددی آنها در اکثر مواقع مشکل و پیچیده می باشد. در این پایان نامه دستگاه معادلات حاکم بر جریان هیدرودینامیک شامل ۱) معادله پیوستگی ۲) معادله مومنتوم، ۳) معادله مومنتوم زاویه ای میباشد که بال حل این معادلات برای حرکت سیال هوا بروی یک صفحه بیضوی در نرم افزار متلب نتایج نشان داد. با حرکت جریان و خورد ان به بیضی سرعت ان کاهش یافته و در پی ان باید فشار افزایش یابد و با عبور از کناره های لبه بییضی با کاهش فشار باعث افزایش سرعت شده و در عقبه بیضی چون جریان کامل توسعه نیافته یک حالت خلا ایجاد شده و سرعت کاهش یافته است. و با مقایسه دو روش Picard-HSSو Nonlinear- HSS like میتوان از کانتور سرعت مشخص نمود که روش Nonlinear- HSS like دقت بیشتری داشته است و کانتور با دقت بهتری رسم شده . و اختلاف سرعت ایجاد شده تنها در حد ۰٫۰۲ متر بر ثانیه است و این امر تایید کننده جواب های هر دو روش است ولی روش Nonlinear- HSS like دقت بالاتری در حل مسائل سیالاتی را دارد.

 

کلمات کلیدی:  Nonlinear- HSS  ، Picard- HSS  ،دستگاه معادلات غیر خطی

 

فهرست مطالب

۱فصل اول              ۲

۱-۱-مقدمه. ۳

۱-۲-بیان مسئله  ۵

۱-۳-فرضيه‌ها ۹

۱-۴-اهداف تحقيق   ۹

۱-۵-نوع روش تحقيق.. ۱۰

۱-۶-تعاریف و قضایا ۱۰

۲-فصل دوم            ۱۸

۲-۱-مقدمه         ۱۹

۲-۲-مفاهیم اساسی     ۱۹

۲-۲-۱- روش نقطه ثابت در .. ۲۲

۲-۳-روش نیوتن     ۲۳

۲-۳-۱- الگوریتم نیوتن.. ۲۷

۲-۴-روش‌های شبه نیوتن     ۲۸

۲-۴-۱- الگوریتم روش برویدن. ۲۹

۲-۵-تکنیک‌های تندترین کاهش         ۳۰

۲-۵-۱- الگوریتم تندترین کاهش…. ۳۴

۲-۶-برخی از تحقیقات صورت گرفته در این زمینه. ۳۶

۲-۷-جمع بندی   ۳۸

۳-فصل سوم            ۳۹

۳-۱-مقدمه. ۴۰

۴-فصل چهارم      ۵۳

۴-۱-مقدمه. ۵۴

۴-۲-معادلات حاکم و شرایط مرزی.. ۵۴

۴-۳-معرفی مسئله  ۶۴

۴-۴-مش بندی مسئله. ۶۴

۴-۵-حل مسئله با .روش تکراری Nonlinear- HSS like. 65

۴-۶-حل مسئله با .روش تکراری Picard-HSS.. 67

۴-۷-نتیجه گیری.. ۶۹

۵-فصل پنجم          ۷۰

۵-۱-نتیجه گیری     ۷۱

۵-۲-پیشنهادات   ۷۳

 

 

فهرست اشکال

شکل ‏۴-۱ شماتیک مسئله حاضر. ۶۴

شکل ‏۴-۲ مش مسئله مد نظر. ۶۵

شکل ‏۴-۳ کانتور فشار برای تکراری Nonlinear- HSS like. 66

شکل ‏۴-۴ کانتور سرعت برای تکراری Nonlinear- HSS like. 67

شکل ‏۴-۵ کانتور فشار برای تکراری Picard-HSS.. 68

شکل ‏۴-۶ کانتور سرعت برای تکراری Picard-HSS.. 69

 

 

 

۱-        فصل اول

مقدمه و مفاهیم اولیه

 

 

۱-۱-         مقدمه

مسائل بسیاری در علوم و مهندسی منجر به حل دستگاه معادلات خطی و غیرخطی می شوند. دستگاه معادلات خطی Ax=b را در نظر بگیرید که در آن یک ماتریس تنک با ابعاد بزرگ و معین مثبت غیرهرمیتی است و . امروزه روش های تکراری برای حل این گونه دستگاه ها استفاده می شود. روش های تکراری به دو دسته ایستا و غیر ایستا تقسیم می شوند. یک روش تکراری ایستا برای حل این گونه دستگاه ها روش شکافت هرمیتی- هرمیتی کج [۱]و نسخه تقریبی[۲] آن است، اما روش هایپر تقریبی[۳] تلفیقی از یک روش ایستا و یک روش غیر ایستا می باشد. در این روش ماتریس ضرایب A به صورت زیر تجزیه می شود.

(۱-۱) A=H+S

که H بخش هرمیتی و S بخش هرمیتی کج آن می باشد و به صورت زیر بیان می شوند.

(۱-۲) H=1/2(A+AH),    S=1/2(A-AH)

روش HSS یک روند تکراری دو مرحله ای به صورت زیر می باشد.

۱-۱-        بیان مسئله

دسته ی وسیعی از روش های عددی برای حل مسائل مختلف، روش های تکراری اند. اصطلاح “روش های تکراری” به مجموعه ای از تکنیک ها اشاره دارد که در هر گام از تقریبهای متوالی، برای به دست آوردن جواب های دقیق تر یک دستگاه استفاده می کند. در واقع این روش ها خانواده ی بزرگی از روش ها هستند که هر کدام تحت شرایط مناسب قادر به حل دستگاه های خطی و غیرخطی اند.به عبارت دیگر یک روش تکراری یک روند ریاضی است که یک دنباله از جواب های تقریبی بهبود یافته را برای رده ای از مسائل تولید می کند. این روش تکراری همگرا نامیده می شود اگر دنباله ی تولید شده همگرا باشد(بیا[۱]،۱۹۹۷).

غالبا منبع مشترک مسائل بالا جواب عددی معادلات دیفرانسیل است. مدل ریاضی بسیاری از سیستم های فیزیکی و مهندسی، دستگاه معادلات دیفرانسیل(معمولی و جزئی) است. یک دستگاه معادلات دیفرانسیل عمدتا با روش های عددی با استفاده از گسسته سازی دستگاه مربوط به وسیله ی روش های تفاضلات متناهی یا عناصر متناهی حل می شود. در حالت “کلی” روند گسسته سازی ما را به یک دستگاه خطی یا غیرخطی(بسته به نوع معادله) رهنمون می کند که جواب آن یک جواب تقریبی برای معادلات دیفرانسیل خواهد بود .هم چنین دسته وسیعی از دستگاه های دینامیکی را می توان بصورت دستگاه معادلات غیرخطی ضعیف طبقه بندی کرد. در این مقاله به بررسی دو روش تکراری که بر مبنای تفکیک ماتریس ضرایب به دو بخش هرمیت و پادهرمیت است خواهیم پرداخت(بیا،۱۹۹۷).

ابتدا به یاد آوری یکسری از مفاهیم اولیه می پردازیم. یک دستگاه غیرخطی ضعیف مجموعه ای از معادلات است که به طور همزمان مورد توجه قرار می گیرند. همواره می توان یک دستگاه معادلات غیر خطی ضعیف را با یک دستگاه ماتریسی 𝐴𝑥 = 𝛷(𝑥) متناظر ساخت(رحهنبلدت[۲]،۱۹۹۸).

دستگاه معادلات غیر خطی 𝐴𝑥 = 𝛷(𝑥) ضعیف نامیده می شود اگر عبارت خطی 𝐴𝑥 نسبت به عبارت غیر خطی 𝛷(𝑥) در نرم معین اکیدا غالب تر باشد.

نگاشت P،𝛷:𝑅𝑛 ⟶ 𝑅𝑛-کراندار نامیده می شود اگر ماتریس نامنفی (𝑃𝜖𝐿(𝑅𝑛 چنان موجود باشد که       ∀x, yϵRn:|(𝑥) − 𝛷(𝑦)| ≤ 𝑃|𝑥 − 𝑦| روش تکراری تفکیک هرمیت و پادهرمیت ابتدا توسط گالوب، بای و ان جی[۳] برای حل کلاسی بزرگ از دستگاه های خطی غیرهرمیت𝐴𝑥 = 𝑏 معرفی شد(رحهنبلدت،۱۹۹۸).

روش HSS در هر تکرار نیازمند به حل دو دستگاه خطی یکی با ماتریس H+𝛼𝐼 و دیگری با ماتریس S+𝛼𝐼 می باشد، دستگاه اول هرمیت، معین مثبت و اغلب خوش وضع (برای 𝛼که خیلی کوچک نیست) است و یافتن جواب آن زیاد مشکل نیست. دستگاه پادهرمیت تغییر یافته نامشخص تر است و در برخی موارد یافتن جواب آن به مراتب مشکل تر از دستگاه خطی اولیه ی  𝐴𝑥 = 𝑏 است.

فرض کنید که ( 𝐴𝜖𝐿(𝐶𝑛 بزرگ، تنک، مختلط و ماتریس معین مثبت )یعنی برای ∀𝑥𝜖𝐶𝑛 قسمت حقیقی 𝑥𝐴𝑥 مثبت باشد،که *x نشان دهنده مزدوج ترانهاده بردار𝑥 است( باشد و 𝛷:𝐷 ⊂ 𝐶𝑛 ⟶ 𝐶𝑛 یک تابع مشتق پذیر پیوسته تعریف شده روی دامنه باز و محدب D در فضای خطی مختلط 𝑛 بعدی 𝐶𝑛 باشد. جواب های تکراری دستگاه های معادلات غیر خطی ضعیف به فرم 𝐴𝑥 = 𝛷(𝑥)یا به طور معادل ۰ = (F(x) ≔ Ax-Φ(x را بررسی می کنیم. فرض می کنیم که ماتریس ژاکوبین تابع غیر خطی ( 𝛷(𝑥در نقطه جواب، 𝑥𝜖𝐷 مشخص شده به وسیله (𝛷(𝑥 ، نیمه معین منفی و غیر هرمیت است .قسمت هرمیت ماتریس  مزدوج ترانهاده 𝐺را نشان می دهد .همچنین به وسیله ۱ قسمت پاد هرمیت 𝐺 را مشخص می کنیم .بدیهی است که G = H(G) + S(G) برقرار است. این تفکیک هرمیت و پاد هرمیت ماتریس که ( 𝐺𝜖𝐿(𝐶𝑛است(بیا،۱۹۹۷).

در هر مرحله تکرار 𝑘 ، روش Newton-HSS به طور صریح به فرم ماتریس ژاکوبین−𝐹(𝑥(𝑘)) = 𝐴   (𝛷(𝑥(𝑘)در تکرار خطی 𝑥(𝑘) نیاز دارد و دو دستگاه خطی با ماتریس های ضرایب (αI + H(x(k) و+αI

 

  (S(x(k)را حل می کند. این جا α پارامتر مثبت تعیین شده را نشان می دهد، I ماتریس همانی است و (( 𝐻(𝑥(𝑘و (( 𝑆(𝑥(𝑘 قسمت های هرمیت و پادهرمیت ماتریس ژاکوبین (𝐹(𝑥(𝑘) هستند یعنی

H(x) = H(F(x)),        S(x) =S(F(x))    ∀𝑥𝜖𝐷

Newton-HSS[4] روش تکراری

فرض کنید 𝐹:𝐷 ⊂ 𝐶𝑛 ⟶ 𝐶𝑛یک تابع مشتق پذیر پیوسته با ماتریس ژاکوبین معین مثبت 𝐹(𝑥) روی هر  به ترتیب قسمت های هرمیت و پادهرمیت (𝐹(𝑥 باشد.فرض اولیه x(0)ϵD و دنباله ی {lk} از اعداد صحیح مثبت نیز داده شده است، دنباله 𝑥(𝑘+۱) را برای…,۱,۰ =k  تا زمانی که {x(k)}در شرط توقف صدق کند، به وسیله تکرار زیر محاسبه می کنیم(دیمبو[۵] و همکاران ،۱۹۸۲):

۱٫قرار دهید:

(𝑘,۰) = ۰

  1. برای 𝑙 = ۰,۱, … 𝑙𝑘 دستگاه زیر را حل کنید تا 𝑠(𝑘+۱) بدست آید:

 

 

۳٫قرار دهید:

(𝑘+۱) = 𝑥(𝑘) + 𝑠(𝑘,𝑙)

 

دو نوع قضیه همگرایی کلی برای روش های تکراری Newton-HSS اثبات شده است و نتایج عددی داده شده نشان می دهد که این روش ها نسبت به Newton-GMRES وNewton-GCG برترند(دیمبو و همکاران ،۱۹۸۲).

برای حل دستگاه معادلات غیر خطی ضعیف  𝐴𝑥 = 𝛷(𝑥) می توانیم به سادگی روش تکراری Picard را استفاده کنیم

 

 

محاسبه  تنک و معین مثبت است تکرار بعدی ممکن است به وسیله روش تکراریHSS به صورت زیر  شود. زمانی که

 

استفاده می کنیم که و   ماتریس های تعریف شده به صورت زیر هستند.

 

۱-۲-       فرضيه‌ها

  1. روش های تکراری چون Newton-HSS توانای حل معادلات غیر خطی ضعیف را دارد.
  2. روش تکراری Newton-HSSاز Picard- HSS توانای بالاتری در حل معادلات غیر خطی دارد.
  3. حجم محاسبات روش Picard- HSS از روش Newton-HSS کمتر است.

۱-۳-      اهداف تحقيق

  1. روش های تکراری چون Newton-HSS به چه صورت توانای حل معادلات غیر خطی ضعیف را دارد.
  2. روش تکراری Newton-HSSو Picard- HSS به صورت کامل بررسی و تشریح شود.
  3. مقایسه محاسبات روش Picard- HSS با روش Newton-HSS صورت گیرد.

 

۱-۴-       نوع روش تحقيق

روش تحقیق از نوع کاربردی و نظری بوده و از جنبه کمی و کیفی علمی به مسئله پرداخته شده است. ابتدا با استفاده از منابع مختلف مدل­های موجود و پیشنهاد شده، مطالعه شده، سپس با استفاده از روش­های عددی ارائه شده تحلیل و برسی می­شود و در پایان توسط نرم افزار­های شبیه­سازی تحلیل و نتیجه‌گیری می­شود.

همه کسانی که به نحوی با حل معادلات غیر خطی سروکار دارند می توانند از یافته های این پژوهش استفاده کنند .

۱-۵-       تعاریف و قضایا

تعریف ۱-۲-۱٫ (نرم) تابعی مانند  که به هر بردار  یک عدد حقیقی  را نسبت می دهد. یک نرم نامیده می شود اگر در شرایط زیر صدق کند

الف) به ازای هر ،x ∈Cnx∥ ≥۰;  به علاوه ∥x∥ =۰ اگر و تنها اگر x=0،

ب) به ازای هر λ ∈C و ؛∥λx∥ = |λ|∥x∥ ،x ∈Cn

ج) به ازای هر ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ ،x,y ∈Cn (نامساوی مثلث)

مثال ۱-۲-۲٫ به ازای هر p ≥ ۱ نرم-p بردار ,x۲ (x1,…,xn) ∈ V به صورت زیر تعریف می شود.

(۱-۱۲)

می توان دید که ∥.p در تعریق نرم صدق می کند. به ازای p=2 نرم فوق را نرم-۲ یا نرم اقلیدسی و به ازای  p = ∞ آن را نرم بی نهایت می نامند.

تعریف ۱-۲-۳٫ فرض کنید (V,F) یک فضای برداری باشند و,…,vk}  X = {v1که در آن ،vi V

 i=1,2,….,kدر این صورت مجموعه ی گسترده X با span(X) نشان داده می شود.

تعریف ۱-۲-۴٫ (فضای توپولوژیک) فرض کنید X یک مجموعه ی ناتهی باشد. منظور از یک توپولوژی روی x عبارت است از مجموعه ای از زیرمجموعه های X مانند τ که دارای شرایط زیر باشد.

الف) .∅,X τ

ب) اجتماع هر تعداد دلخواه از عناصر از τ در τ باشد.

ج) اشتراک تعداد متناهی از عناصر τ در τ باشد.

مجموعه ی X را به همراه توپولوژی τ یک فضای توپولوژیک می نامیم و آن را با (x, τ) نشان می دهیم.

تعریف ۱-۲-۵٫ (فضای باناخ) فرض کنید X یک فضای برداری و ∥.∥ یک نرم روی X باشد. اگر X با متر تولید شده توسط نرم، یک فضای کامل باشد( هر دنباله ی کشی در آن همگراست)، آنگاه (X,.∥) را یک فضای باناخ می گویند.

لم ۱-۲-۶٫ (لم باناخ) فرض کنید X یک فضای باناخ U : X −→ X. اگر

(۱-۱۳)

آنگاه عملگر I-U داری یک معکوس پیوسته است و

(۱-۱۴)

نتیجه ۱-۲-۷٫ اگر در فضای باناخ X داشته باشیم

(۱-۱۵)

آنگاه

(۱-۱۶)

نتیجه ۱-۲-۸٫ فرض کنید X و Y دو فضای باناخ، U0-1: Y −→ X و U0 : X −→ Y اگر عملگر U : X −→ Y در شرط

(۱-۱۷)

صدق کند، آنگاه V=U+U0 دارای یک معکوس پیوسته V-1است و خواهیم داشت:

(۱-۱۸)

تعریف ۱-۲-۹٫ (نگاشت خطی) فرض کنید W و V دو فضای برداری باشند. نگاشت T : V −→ W خطی است، اگر برای بردارهای دلخواه ,x۲,…,xn} {x1و ضرایب دلخواه α۱, α۲, α۳,…., αn داشته باشیم

(۱-۱۹)

تعریف ۱-۲-۱۰٫(مجموعه ی آفین)مجموعه ی C ⊂Rn را آفین گوییم هر گاه به ازای هر x,y C و λ ∈R

(۱-۲۰)

تعریف ۱-۲-۱۱٫(مجموعه ی محدب) ناحیه ی C0 ⊂Rn را مجموعه ی محدب می گوییم هر گاه به ازای هر x,y C۰ ، خط واصل بین x و y درون C0 قرار گیرد.

تعریف ۱-۲-۱۲٫ (مجموعه باز) فرض کنید X یک فضای توپولوژیک باشد. زیرمجموعه ی U از X را باز گوییم هرگاه هر نقطه اش، نقطه درونی باشد

با به عبارت دیگر برای هر نقطه حداقل یک همسایگی وجود داشته باشد که کاملا در مجموعه باشد.

تعریف ۱-۲-۱۳٫(مجموعه بسته) فرض کنید X یک فضای توپولوژیک باشد. زیر مجموعه A از X را بسته گوییم هر گاه X-A باز باشد. یا به عبارت دیگر مجموعه ی بسته مجموعه ای است که شامل همه ی نقاط مرزی خود باشد.

تعریف ۱-۲-۱۴- (بستار) فرض کنید X یک فضای توپولوژیک باشد و A یک زیر مجموعه ی آن. بستار A را اشتراک تمام مجموعه های بسته ای در نظر می گیریم که شامل A باشند و آن را  نشان می دهیم.

تعریف ۱-۱-۱۵٫(گرادیان) فرض کنید . گرادیان تابع F در x0 برابر است با

 

(۱-۲۱)

[۱] Bia

[۲] Rheinboldt

[۳] Galovb, bai and inji

[۴] Skew-Hermitian Splitting

[۵] Dembo

[۱] HSS

[۲] IHSS

[۳] IHSS

۵۵۰۰۰ تومان – خرید
درباره این محصول نظر دهید !